关家永最初在美国康涅狄格大学攻读会计专业，然而在完成第一年的学业后，他发现自己对电影创作有着更强烈的兴趣，于是决定转入爱默生学院，正式学习电影相关的知识与技术。2008年，在一门3D动画课程中，他结识了当时同样在校学习的丹尼尔·施纳特，两人因共同的创作理念而逐渐熟悉。到了2009年夏季，关家永与丹尼尔·施纳特一同受聘担任纽约电影学院在哈佛大学举办的中学生电影夏令营的助教工作，在指导年轻学员的过程中，他们合作执导了短片作品《Swingers》，这次合作非常顺利，也促使他们之后正式组成名为“丹尼尔”的导演组合。2010年，关家永顺利完成了在爱默生学院的学业，正式毕业。
二零一零年五月，关家永与丹尼尔·施纳特合作，为冰岛流行乐队FM Belfast的歌曲《Underwear》执导了音乐录影带；同年七月，他应音乐公司Warp Records之邀，为美国电子音乐组合The Hundred in Hands的歌曲《Pigeons》《Commotion》执导了MV。二零一一年四月，他为美国摇滚乐队Manchester Orchestra的专辑《Simple Math》的同名主打歌执导了音乐录影带，这支作品为他赢得了多项荣誉，包括第19届Camerimage国际电影节最佳MV、第4届英国音乐录影带奖年度音乐录影带以及最佳国际独立/摇滚录影带，同时还获得了第28届MTV音乐录影带奖最佳剪辑与最佳特效的提名；同年九月，他为美国摇滚乐队Battles的歌曲《My Machines》执导了MV，该作品随后斩获了第19届西南偏南电影节MV竞赛单元评审团大奖最佳MV。二零一二年二月，他为美国摇滚乐队The Shins的歌曲《Simple Song》执导了音乐录影带，这支MV赢得了第5届英国音乐录影带奖最佳国际独立/摇滚录影带以及第3届洛杉矶音乐录影带节最佳剧情录影带；四月，他为美国流行乐队Foster The People的歌曲《Houdini》执导了MV，凭借此作品提名了第55届格莱美奖最佳短篇MV，并获得了二零一三年美国音乐录影带制作奖最佳乐队录影带导演和最佳实景特效；五月，他为美国摇滚乐队Tenacious D的专辑《Rize of the Fenix》的同名主打歌执导了MV，并借此提名了第5届英国音乐录影带奖最佳国际独立/摇滚录影带；六月，他获得了第2届Vimeo奖颁发的最佳新人荣誉奖。二零一三年三月，他为美国电子乐队Passion Pit的歌曲《Cry Like a Ghost》执导了音乐录影带，该MV之后入围了第21届西南偏南电影节MV竞赛单元评审团大奖最佳MV，他也凭借此作品获得了第28届伦敦国际奖MV竞赛单元最佳导演银奖和最佳剪辑银奖；七月，他参与执导的电视喜剧《反恐也疯狂第三季》在美国播出，这部剧集讲述了一个虚构反恐组织的日常运作；十月，由他独立执导的电视喜剧《儿童医院第五季》第13集在美国播出，该剧聚焦于一群儿童医生的情感纠葛与私人生活。二零一四年三月，他为DJ Snake与里尔·乔恩合作的歌曲《Turn Down for What》执导了MV，这部音乐录影带在YouTube上获得了超过十一亿次的观看量，并提名了第57届格莱美奖最佳MV以及第22届Camerimage国际电影节最佳MV，他也凭借此MV赢得了第31届MTV音乐录影带奖最佳导演。二零一五年三月，他自编自导的短片《奇异球》入围了第22届西南偏南电影节午夜短片竞赛单元评审团大奖最佳短片；五月，他执导的短片《The Pound Hole》在美国上映，该片随后入围了第32届圣丹斯电影节短片竞赛单元评审团大奖最佳短片。二零一六年一月，由他编剧并执导的喜剧电影《瑞士军刀男》入围了第32届圣丹斯电影节美国剧情片竞赛单元评审团大奖最佳影片，该片由保罗·达诺和丹尼尔·雷德克里夫领衔主演，讲述了一个被困荒岛的男人与一具尸体成为朋友，并带着这具尸体踏上归家之旅的故事，最终，他凭借这部电影获得了第32届圣丹斯电影节美国剧情片竞赛单元导演奖，并提名了第32届美国独立精神奖最佳处女作以及第26届哥谭独立电影奖电影类雷·宾汉姆最佳突破导演。二零一八年秋季，他创立了名为“We Direct Music Videos”（WDMV）的组织，致力于维护音乐录影带导演的行业权益。二零一九年六月，他参与执导的科幻题材电视剧《大群第三季》在福克斯有线电视网播出，该剧讲述了变种人群体的故事。二零二零年一月，他自编自导的喜剧电影《快艇狂想曲》入围了第36届圣丹斯电影节下一代创新奖，影片以一艘快艇的生命历程为主线展开叙述；三月，由他执导的电视喜剧《奥卡菲娜是来自皇后区的诺拉第一季》第8集在美国喜剧中心频道播出。二零二二年三月，他担任编剧、导演并制片的奇幻电影《瞬息全宇宙》作为第30届西南偏南电影节的开幕片在美国首映，该片由杨紫琼、关继威、许玮伦、杰米·李·柯蒂斯等主演，讲述了一位被生活压得喘不过气的母亲穿越多个平行宇宙，试图战胜邪恶力量、拯救女儿并守护家庭的故事，此后，该片票房刷新了其发行公司A24的电影票房纪录，他也凭借此片获得了第34届美国制片人工会奖电影类达里尔·F·扎努克奖最佳剧情片制片、第75届美国导演工会奖电影类最佳剧情片导演以及第75届美国编剧工会奖电影类最佳原创剧本；九月，他入选了《TIME（时代）》评选的“百大下一代人物（TIME 100 NEXT）”榜单。二零二三年一月，第95届奥斯卡金像奖公布提名名单，他凭借《瞬息全宇宙》同时提名最佳影片、最佳导演和最佳原创剧本，成为继奉俊昊、赵婷之后第三位同时获得奥斯卡金像奖最佳影片、最佳导演及最佳剧本提名的亚裔电影人；三月，在第95届奥斯卡金像奖颁奖典礼上，他凭借《瞬息全宇宙》一举夺得最佳影片、最佳导演和最佳原创剧本三项大奖，成为继李安、奉俊昊、赵婷后第四位获得奥斯卡金像奖最佳导演的亚裔，也是继奉俊昊之后第二位同时赢得奥斯卡金像奖最佳影片、最佳导演和最佳剧本的亚裔创作者；五月，他入选慈善组织“Gold House”评选的第6届年度百大亚裔人物；六月，他受邀成为电影艺术与科学学院会员，从而获得了奥斯卡金像奖的投票权。二零二四年十二月二日，由他执导的Disney+星球大战番外剧集《星球大战：骨干小队》正式播出。
关家永的家庭背景具有多元文化交融的特点。他的祖父早年从香港移民至美国，并在当地以经营洗衣店为业，关家永的父亲便是在这样的家庭环境中成长起来的。他的母亲沈俊龙（英文名June Kwan）毕业于台湾大学图书资讯学系，此后远赴美国继续深造。在日常生活中，关家永的家庭同时使用广东话、普通话和英语进行交流，这种多语言环境无疑为他后来的创作带来了潜移默化的影响。关家永在兄弟姐妹中排行第二，他还有另外三位兄弟姐妹，共同组成了一个热闹的大家庭。2016年，关家永与美国导演克尔斯滕·莱波尔步入婚姻殿堂，两人婚后共同养育了一个儿子，取名为Gio。
关家永与丹尼尔·施纳特向来以其独特而跳脱的创作思维备受瞩目，在《瞬息全宇宙》中，两人将这种鲜明的个人风格推向极致，影片不仅展现出蓬勃奔放的想象力与灵动鲜活的恶趣味，更通过高效凌厉且颇具先锋意识的剪辑手法，融入充满东方韵味的功夫喜剧元素，为观众奉献了一场节奏紧凑、色彩斑斓又温情可爱的视听盛宴；尽管他们的构思天马行空，但整部电影的世界观却始终保持着内在的逻辑自洽，其叙事落脚点尤为贴近现实生活，核心依然围绕亚裔家庭中复杂而微妙的母女关系展开。虽然关家永和丹尼尔·施纳特在《瞬息全宇宙》中的确纵情挥洒创意，向众多他们钟爱的文化元素致以热烈致敬，但值得玩味的是，他们在借助这些元素制造密集笑料的同时，亦通过精心设计的叙事安排，使这些看似戏谑的内容切实服务于电影的主题深化与角色成长。就这样，各种意象与情节被层层叠叠地编织在一起，赋予影片多重解读空间，最终使得那些令人捧腹的桥段并不仅仅停留在滑稽搞笑的表面，甚至足以让观众在某个欢笑至眼眶湿润的瞬间恍然思索：此刻涌上心头的感动，是否仅仅源于幽默本身。